楕円の方程式
平面上の２つの点FとF'からの距離の和が一定である点Pの軌跡を
楕円と言い、この２つの点FとF'のことを
楕円の焦点と言います。
上の図のように、２つの点F（ｃ，０）とF'（－ｃ，０）を焦点とし、y軸との交点の座標をB（o,b）とします。このとき、焦点からの距離の和が２aである楕円の方程式と焦点の座標は次のように表せます。
（ただしa＞ｂ＞０）
 )
，
 )
楕円の方程式の証明
これを証明してみましょう。まず、次のような図を考えます。
条件よりPF+PF'=2a ・・・①
 ^{2} %2By ^{2} } )
 ^{2} %2By ^{2} } )
よって①は次のように変形できます。
 ^{2} %2By ^{2} }%2B\sqrt{ \left(x%2Bc\right) ^{2} %2By ^{2} } =2a)
これを変形して
 ^{2} %2By ^{2} }=2a-\sqrt{ \left(x%2Bc\right) ^{2} %2By ^{2} })
両辺を２乗して整理していきます。
 ^{2} %2By ^{2} } \right)^{2}= \left(2a-\sqrt{ \left(x%2Bc\right) ^{2} %2By ^{2} }\right)^{2})
 ^{2} %2By ^{2} =4a ^{2} -4a \sqrt{ \left(x%2Bc\right) ^{2} %2By ^{2} } %2B \left(x%2Bc\right) ^{2} %2By ^{2} )
 ^{2} %2By ^{2} } %2Bx ^{2} %2B2cx%2Bc ^{2} )
 ^{2} %2By ^{2} } =4a ^{2} %2B4cx)
 ^{2} %2By ^{2} } =a ^{2} %2Bcx)
ここでまた両辺を２乗して整理します。
 ^{2} %2By ^{2} } \right)^{2}=\left(a ^{2} %2Bcx\right)^{2})
 ^{2} %2Ba ^{2} y ^{2} =a ^{4} %2B2a ^{2}cx %2Bc ^{2} x ^{2} )
 %2Ba ^{2} y ^{2} =a ^{2} \left(a ^{2} -c ^{2} \right) )
・・・②
a＞cより
とおくと、
a＞ｂ>0より
なので②式は
両辺を
で割ると
であることが求まります。
焦点の座標の証明
先ほどの証明で、
とおきました。
これを変形して、
ａ＞ｂ＞０より
・・・③
２つの焦点はF（ｃ，０）とF'（－ｃ，０）とおかれていたので、③を代入して
，
が求まります。
