対称式・基本対称式とは
文字を入れ替えても全く同じ式になる式のことを
対称式といいます。どういうことかというと、例えば"ｘ＋ｙ"のｘとｙを入れ替えると"ｙ＋ｘ"になりますが、これは"ｘ＋ｙ"の表すものと同じですね。
| 入れ替える前 | － | 入れ替えたあと |
| ｘ²＋ｙ² | → | ｙ²＋ｘ² |
| ｘ＋ｙ | → | ｙ＋ｘ |
| ｘｙ | → | ｙｘ |
上に挙げた３つの式は、すべて対称式です。文字がｘとｙでなくてもかまいません。対称式は世の中にたくさんありますが、数ある対称式の中でも、"ｘ＋ｙ"と"ｘｙ"のことを、
基本対称式と言います。なぜかというと、
すべての対称式の基になる式だからです。
対称式の性質
基本対称式はすべての対称式の基になると書きましたが、対称式には次のような性質があります。
すべての対称式は必ず、基本対称式の組み合わせで表すことができる
試しに、対称式"ｘ²＋ｙ²"が、基本対称式で表せるか証明してみましょう。
(ｘ＋ｙ)²＝ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²より
ｘ²＋ｙ²＝(ｘ＋ｙ)²－２ｘｙ
となり、"ｘ＋ｙ"と"ｘｙ"の基本対称式で表すことができますね。
では"ｘ³＋ｙ³"はどうでしょう。
(ｘ＋ｙ)³＝ｘ³＋３ｘ²ｙ＋３ｘｙ²＋ｙ³より
ｘ³＋ｙ³
＝(ｘ＋ｙ)³－(３ｘ²ｙ＋３ｘｙ²)
＝(ｘ＋ｙ)³－３ｘｙ(ｘ＋ｙ)
となり、これも"ｘ＋ｙ"と"ｘｙ"の基本対称式で表すことができますね。
交代式とは
"ｘ²＋ｙ²"は対称式でしたが、"ｘ²－ｙ²"はどうでしょう。
ｘとｙを入れ替えると"ｙ²－ｘ²"となりますが、"ｘ²－ｙ²"とは同じ式ではありませんね。
－(ｘ²＋ｙ²)=ｙ²－ｘ²
このように、もとの式の記号を入れ替えると、元の式に－1をかけた式となる式のことを
交代式といいます。
