文字を入れ替えても全く同じ式になる式のことを対称式といいます。どういうことかというと、例えば"ｘ＋ｙ"のｘとｙを入れ替えると"ｙ＋ｘ"になりますが、これは"ｘ＋ｙ"の表すものと同じですね。

入れ替える前	－	入れ替えたあと
ｘ²＋ｙ²	→	ｙ²＋ｘ²
ｘ＋ｙ	→	ｙ＋ｘ
ｘｙ	→	ｙｘ

上に挙げた３つの式は、すべて対称式です。文字がｘとｙでなくてもかまいません。対称式は世の中にたくさんありますが、数ある対称式の中でも、"ｘ＋ｙ"と"ｘｙ"のことを、基本対称式と言います。なぜかというと、すべての対称式の基になる式だからです。


基本対称式はすべての対称式の基になると書きましたが、対称式には次のような性質があります。



試しに、対称式"ｘ²＋ｙ²"が、基本対称式で表せるか証明してみましょう。

(ｘ＋ｙ)²＝ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²より
ｘ²＋ｙ²＝(ｘ＋ｙ)²－２ｘｙ

となり、"ｘ＋ｙ"と"ｘｙ"の基本対称式で表すことができますね。
では"ｘ³＋ｙ³"はどうでしょう。

(ｘ＋ｙ)³＝ｘ³＋３ｘ²ｙ＋３ｘｙ²＋ｙ³より
　ｘ³＋ｙ³
＝(ｘ＋ｙ)³－(３ｘ²ｙ＋３ｘｙ²)
＝(ｘ＋ｙ)³－３ｘｙ(ｘ＋ｙ)

となり、これも"ｘ＋ｙ"と"ｘｙ"の基本対称式で表すことができますね。


"ｘ²＋ｙ²"は対称式でしたが、"ｘ²－ｙ²"はどうでしょう。
ｘとｙを入れ替えると"ｙ²－ｘ²"となりますが、"ｘ²－ｙ²"とは同じ式ではありませんね。

－(ｘ²＋ｙ²)=ｙ²－ｘ²

このように、もとの式の記号を入れ替えると、元の式に－1をかけた式となる式のことを交代式といいます。