△ＡＢＣの中でも外でも良いので、任意の点Ｏをとる。点ＡＢＣとＯとをそれぞれ結ぶ線が向かい合う辺と点Ｐ，Ｑ、Ｒで交わるとき


このテキストでは、この定理を証明します。


チェバの定理を証明する前に、次の性質を知っておく必要がある。





まずはこの証明を行う。
次の図のように、点Ｂと点ＣからＡＰもしくはその延長線上に垂線をおろし、ＡＰとの交点をそれぞれQ、Rとする。

このとき△ＯＡＢの面積は、

OA×BQ÷２　－①

同様にして、三角ＯＡＣの面積は

OA×CR÷２　－②

①と②から、
△ＯＡＢ：△ＯＡＣ＝ＢＱ：ＣＲ　－③

であることがわかった。次に、BＱ//CRであることに着目する。

BQ//CRより、BP：PC=BQ：CR　－④

③と④より
△OAB：△OAC=BP：PCつまり



となる。ではこれを利用してチェバの定理を証明していく。




△ＯＡＢと△ＯＡＣにおいて、先ほど求めた定理を使って




△ＯＢＣと△ＯＢＡにおいて、同様にして




△ＯＡＣと△ＯＢＣにおいて、同様にして





に（１）、（２）、（３）で求めた式を代入すると、



すなわち



が成り立つことがわかる。
証明おわり。