まず「点と直線の距離」ときいて、何を思い浮かべますか？
図のような点Pと直線lの距離を求める方法についてみていきましょう。



図のように、直線l："ax＋by＋c＝０"上にない点P(x₁，y₁)をとります。点Pから直線lに垂線をおろし、その交点をQ(x₂，y₂)とします。点Pと直線lの距離とは、基本的にこのPQの距離のことを指すので覚えておきましょう。
これには公式があるので、まずはそれを紹介します。


点P(x₁，y₁)と直線l："ax＋by＋c＝０"の距離をdとしたとき



ではこの公式を証明しましょう。





PQと直線lは垂直に交わることから、２つの直線が垂直に交わるための条件より、２直線の傾きの積が"−１"であることに注目をします。


PQの傾きは、傾きを求める公式より



lの傾きは"ax＋by＋c＝０"を変形して求めます。



２つの直線が垂直に交わるための条件より、


これを変形すると




計算をしやすくするために



とおきます。すると

x₂−x₁＝am　ー①
y₂−y₁＝bm　ー②

と表すことができますね。



次に、点Q(x₂，y₂)は直線l："ax＋by＋c＝０"上の点であることから

"ax₂＋by₂＋c＝０"　ー③

が成り立ちます。
先ほどの①と②を変形させると

"x₂＝am＋x₁"
"y₂＝bm＋y₁"

となるので、これらを③に代入すると

a(am＋x₁)＋b(bm＋y₁)＋c＝０

a²m＋ax₁＋b²m＋by₁＋c＝０

m(a²＋b²)＋ax₁＋by₁＋c＝０

m(a²＋b²)＝−(ax₁＋by₁＋c)




次にPHの長さを求めていきます。PHの長さをdとしたとき、２点間の距離を求める公式より



両辺を２乗して



さらに先ほど求めた①と②より

x₂−x₁＝am　ー①
y₂−y₁＝bm　ー②

なので、これを代入して



さらに⑤に④を代入します。



右辺を展開すると





次に両辺の平方根を取ります


さらに、d＞０より


公式を求めることができました。
最後の絶対値のところがわからない人は、絶対値の性質を見直してみましょう。
"｜x｜²＝x² "の性質を用いて計算をすすめています。