点と直線の距離を求める公式とその証明 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2019-12-17
	点と直線の距離を求める公式とその証明
著作名：ふぇるまー 276,803 views

点と直線の距離を求める公式

まず「点と直線の距離」ときいて、何を思い浮かべますか？
図のような点Pと直線lの距離を求める方法についてみていきましょう。

図のように、直線l："ax＋by＋c＝０"上にない点P(x₁，y₁)をとります。点Pから直線lに垂線をおろし、その交点をQ(x₂，y₂)とします。点Pと直線lの距離とは、基本的にこのPQの距離のことを指すので覚えておきましょう。
これには公式があるので、まずはそれを紹介します。

点P(x₁，y₁)と直線l："ax＋by＋c＝０"の距離をdとしたとき
$d= \frac{|ax _{1} +by _{1} +c|}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$

ではこの公式を証明しましょう。

公式の証明

■PQとlは垂直に交わる

PQと直線lは垂直に交わることから、２つの直線が垂直に交わるための条件より、２直線の傾きの積が"−１"であることに注目をします。

PQの傾きは
$\frac{y _{2} -y _{1} }{x _{2} -x _{1} }$

lの傾きは"ax＋by＋c＝０"を変形して"-a/b"

$-\frac{a}{b} \times \frac{y _{2} -y _{1} }{x _{2} -x _{1} } =-1$

$\frac{x _{2} -x _{1} }{a} = \frac{y _{2} -y _{1} }{b}$

ですが、計算をしやすくするために

$\frac{x _{2} -x _{1} }{a} = \frac{y _{2} -y _{1} }{b} =m$

とおきます。すると

x₂−x₁＝am　ー①
y₂−y₁＝bm　ー②

と表すことができますね。

■Qは直線l上の点

次に、点Q(x₂，y₂)は直線l上の点であることから

"ax₂＋by₂＋c＝０"

先ほどの①と②を変形させると"x₂＝am＋x₁、y₂＝bm＋y₁"なのでこれを代入すると

a(am＋x₁)＋b(bm＋y₁)＋c＝０

a²m＋ax₁＋b²m＋by₁＋c＝０

m(a²＋b²)＋ax₁＋by₁＋c＝０

m(a²＋b²)＝−(ax₁＋by₁＋c)

$m=- \frac{ax _{1} +by _{1} +c}{a ^{2} +b ^{2} }$ 　ー③

■PHの長さを求める

次にPHの長さを求めていきます。PHの長さをdとしたとき、２点間の距離を求める公式より

$d= \sqrt{ \left(x _{2} -x _{1} \right) ^{2} + \left(y _{2} -y _{1} \right) ^{2} }$

$d^{2}= \left(x _{2} -x _{1} \right) ^{2} + \left(y _{2} -y _{1} \right) ^{2}$

①と②より

d²=(am)²＋(bm)²＝a²m²＋b²m²＝m²(a²＋b²)

これに③を代入します。

$d^{2}= \left(a ^{2} +b ^{2} \right) \cdot \left(- \frac{ax _{1} +by _{1} +c}{a ^{2} +b ^{2} } \right) ^{2}$

$= \left(a ^{2} +b ^{2} \right) \cdot \frac{ \left(ax _{1} +by _{1} +c\right) ^{2} }{ \left(a ^{2} +b ^{2} \right) ^{2} }$

$= \frac{ \left(ax _{1} +by _{1} +c\right) ^{2} }{a ^{2} +b ^{2} }$

d＞０より

$d= \frac{|ax _{1} +by _{1} +c|}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$

公式を求めることができました。
最後の絶対値のところがわからない人は、絶対値の性質を見直してみましょう。"｜x｜²＝x² "の性質を用いて計算をすすめています。

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