点と直線の距離（原点から直線の場合） / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2013-05-23
	点と直線の距離（原点から直線の場合）
著作名： OKボーイ 59,800 views

原点Ｏから直線ｌまでの距離

原点Ｏから直線ｌ：ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　に垂直に垂線を下ろしたとき、その垂線の長さを求めてみましょう。

まずは直線ＯＨの傾きを求める

原点Ｏからの垂線と、直線ｌの交点の座標をＨ（ｐ，ｑ）とします。
このときＯＨとｌとは垂直に交わっているので、ＯＨの傾きとｌの傾きとの積が－１になります。
このことを利用して解答をすすめてみましょう。
直線　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　は変形すると
$y=- \frac{a}{b} x- \frac{c}{b}$ となりますので、傾きは $- \frac{b}{a}$ 　です。
また、ＯＨの方程式を便宜的にｙ＝ｍｘとします。このとき
$- \frac{b}{a} \times m=-1$
よって、　 $m= \frac{b}{a}$ 　　となりますのでＯＨは
$y= \frac{b}{a} x$
と表すことができます。

フォーカスを点Ｈに

ここで点Ｈ（ｐ，ｑ）について考えてみましょう。点Ｈは２つの直線、ＯＨとｌとの交点であることからｘ＝ｐ、ｙ＝ｑをそれぞれの方程式に代入して

ａｐ＋ｂｑ＋ｃ＝０　…①
ａｑ－ｂｐ＝０　…②　　　が求まります。

■ｐについて整理

まず、ｐについて整理してみましょう。
①式は　ａｐ＝－ｂｑ－ｃ
$p= \frac{-bq-c}{a}$ 　…③

②式は　ｂｐ＝ａｑ
$p= \frac{aq}{b}$ 　…④

③と④の連立方程式を解いて
$q= \frac{-bc}{a ^{2} +b ^{2} }$ 　…⑤　となります。

ｑについて整理

①より
$q= \frac{-ap-c}{b}$ 　…⑥

②より
$q= \frac{b}{a} p$ 　…⑦

⑥と⑦より
$p= \frac{-ac}{a ^{2} +b ^{2} }$ 　…⑧

△ＯＡＨを考える

次に、点Ｈからｘ軸に垂線を下ろし、その交点をＡとします。
△ＯＡＨにおいて∠ＯＡＨ＝９０°より、ピタゴラスの定理が使えます。

$OH^{2}=OA^{2}+AH^{2}$
ＯＡ＝ｐ、ＡＨ＝ｑより
$OH^{2}=p^{2}+q^{2}$ 　となりますので、これに先ほどもとめた⑤と⑧を代入します。

$OH ^{2} = \left( \frac{-ac}{a ^{2} +b ^{2} } \right) ^{2} + \left( \frac{-bc}{a ^{2} +b ^{2} } \right) ^{2}$
ＯＨ＞０より
$OH=\sqrt{ \left( \frac{-ac}{a ^{2} +b ^{2} } \right) ^{2} + \left( \frac{-bc}{a ^{2} +b ^{2} } \right) ^{2} }$
$= \sqrt{ \frac{a ^{2} c ^{2} +b ^{2} c ^{2} }{ \left(a ^{2} +b ^{2} \right) ^{2} } }$
$= \sqrt{ \frac{c ^{2} \left(a ^{2} +b ^{2} \right) }{ \left(a ^{2} +b ^{2} \right) ^{2} } }$
$= \sqrt{ \frac{c ^{2} }{a ^{2} +b ^{2} } }$
$= \frac{|c|}{ \sqrt{a ^{2} +b ^{2} } }$

これが、原点Ｏから直線ｌ：ａｘ＋ｂｘ＋ｃ＝０　の距離を求める公式です。

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