△ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＡＣの中点をそれぞれＭ、Ｎとしたとき、次の定理が成り立ちます。


このテキストでは、この定理を証明していきます。




△ＡＢＣにおいて、ＡＭ＝ＭＢ、ＡＮ＝ＮＣより

ＡＭ：ＭＢ＝ＡＮ：ＮＣ＝１：１

となる。ここで、平行線と線分の比を思い出してみる。


上図のように△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢと辺ＡＣ上に点Ｐと点ＱがあってＰＱ//ＢＣ（平行）なとき、次の定理が成り立つ。



これが平行線（三角形）と線分の比の関係である。逆を言うと、ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣであれば、ＰＱ//ＢＣとなる。

証明に戻ると、ＡＭ：ＭＢ＝ＡＮ：ＮＣ＝１：１なので、このことからＭＮ//ＢＣとなることがわかる。



続いて、△ＡＢＣと△ＡＭＮについてみていく。
Ｍは辺ＡＢの中点であることから、ＡＭ：ＡＢ＝１：２　－①
同様に、Ｎは辺ＡＣの中点であることから、ＡＮ：ＡＣ＝１：２　－②
∠ＢＡＣはどちらの三角形も共通した角である。　－③

①、②、③より、２組の辺の比とその間の各がそれぞれ等しいという相似条件を満たすので、△ＡＢＣと△ＡＭＮは相似な三角形であることがわかる。

このことから、ＭＮ：ＢＣ＝１：２であり、これを変形させて



証明おわり。