相似な図形の場合、表面積比と体積比には相関関係があります。
具体的に言うと以下のようなものです。


という法則です。今回はこれの証明をしてみましょう。
まず、以下のように相似な２つの立方体AとBがあったとします。

２つの立方体の相似比はｋ：１とします。
すなわち、Aの各辺の長さはBの各辺の長さのk倍となります。

まず表面積についてみていきましょう。
立方体Aの表面積をＳ、立方体Bの表面積をＳ1とします。このとき


右辺をまとめると
　…①となります。
ではＳ1はどうでしょうか。


右辺をまとめると
…②　となります。

ここで①と②を比べてみましょう。



以上のことからわかるように、
相似比がｋ：１の２つの図形において、表面積比はであると言えます。

続いて体積比を証明してみましょう。
表面積比と同じ要領で考えていきます。
立方体Aの体積をＶ、立方体Bの体積をＶ1とします。
…③
…④

であることから、③と④の式を比べると


が成り立つことが証明できます。

これと同じ要領で、相似比がｍ：ｎの場合
表面積比は　体積比は

と表すこともできます。
仮に公式を忘れてしまっても、このように簡単に求めることができますので、頭の片隅に置いておくようにしてくださいね。