相似な図形における表面積比と体積比　 / 中学数学 by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	相似な図形における表面積比と体積比
著作名： OKボーイ 54,677 views

相似な図形の面積比と体積比

相似な図形の場合、表面積比と体積比には相関関係があります。
具体的に言うと以下のようなものです。

相似比がｋ：１である立体の場合、表面積比は $k^{2}:1$ であり、体積比は　 $k^{3}:1$ 　である。

という法則です。今回はこれの証明をしてみましょう。
まず、以下のように相似な２つの立方体AとBがあったとします。

２つの立方体の相似比はｋ：１とします。
すなわち、Aの各辺の長さはBの各辺の長さのk倍となります。

＜表面積＞

まず表面積についてみていきましょう。
立方体Aの表面積をＳ、立方体Bの表面積をＳ1とします。このとき

$S=2\times ka\times kb+2kb\times kc+2ka\times kc$
右辺をまとめると
$S=2k^{2}\left (ab+bc+ca \right )$ 　…①となります。
ではＳ1はどうでしょうか。

$S _{1}=s\times a\times b+2\times b\times c+2\times c\times a$
右辺をまとめると
$S _{1} =2\left ( ab+bc+ca \right )$ …②　となります。

ここで①と②を比べてみましょう。

$S:S _{1}=2k^{2}\left ( ab+bc+ca \right ):2\left ( ab+bc+ca \right )=k^{2}:1$

以上のことからわかるように、
相似比がｋ：１の２つの図形において、表面積比は $k^{2}:1$ であると言えます。

＜体積比＞

続いて体積比を証明してみましょう。
表面積比と同じ要領で考えていきます。
立方体Aの体積をＶ、立方体Bの体積をＶ1とします。
$V=ka\times kb\times kc=k^{3}abc$ …③
$V _{1}=a\times b\times c=abc$ …④

であることから、③と④の式を比べると

$V:V _{1}=k^{3}abc:abc=k^{3}:1$
が成り立つことが証明できます。

これと同じ要領で、相似比がｍ：ｎの場合
表面積比は $m^{2}:n^{2}$ 　体積比は $m^{3}:n^{3}$

と表すこともできます。
仮に公式を忘れてしまっても、このように簡単に求めることができますので、頭の片隅に置いておくようにしてくださいね。

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