上図のように△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢと辺ＡＣ上に点Ｐと点ＱがあってＰＱ//ＢＣ（平行）なとき、次の定理が成り立つ。



このテキストでは、この定理を証明します。



図のように、点Ｑを通ってＰＢと平行になる補助線をかき、辺ＢＣとの交点をＲとします。

△ＡＰＱと△ＱＲＣにおいてＰＱ//ＱＣより、

∠ＡＱＰ＝∠ＱＣＲ　－①
（※平行な２つの直線における同位角は等しいことから）

また、ＡＰ//ＱＲより、同じ理由で

∠ＰＡＱ＝∠ＲＱＣ　－②

①、②より２組の角の大きさがそれぞれ等しいことから、△ＡＰＱと△ＱＲＣは相似であることがわかった。よって

ＡＰ：ＱＲ＝ＡＱ：ＱＣ　－③

次に四角形ＰＢＲQは平行四辺形なので、

ＰＢ＝ＱＲ　－④

③と④より、
ＡＰ：ＱＲ＝ＡＱ：ＱＣ＝ＡＰ：ＰＢ＝ＡＱ：ＱＣ

以上で定理が成り立つことが証明できた。

証明おわり。