相似な三角形の面積比 / 中学数学 by OKボーイ |マナペディア|

	相似な三角形の面積比
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相似な２つの三角形

相似な２つの三角形△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'があります。(相似比は１：ｋ)
△ＡＢＣの各辺の長さをａ、ｂ、ｃとしたときに△Ａ'Ｂ'Ｃ'の各辺の長さはｋａ、ｋｂ、ｋｃとなります。

このとき、２つの三角形の面積比についてみてみましょう。

面積

まず２つの三角形の面積を比べてみましょう。
△ＡＢＣの面積をＳ、△Ａ'Ｂ'Ｃ'の面積をＳ1とします。
このとき、三角比を用いて
$S= \frac{1}{2} bc \sin A$
$S1= \frac{1}{2} kb \cdot kc \sin A=k ^{2} \cdot \frac{1}{2} bc \sin A$
となります。このことから
$S:S1= \frac{1}{2} bc \sin A:k ^{2} \frac{1}{2} bc \sin A=1:k ^{2}$
であることがわかります。

相似な２つの三角形において相似比が１：ｋであるとき、その面積比は
$1:k ^{2}$ になります。

よく使われる定理ですので、きちんと覚えておきましょう。
また忘れてしまっても、このように自分で導き出せるようしておきましょう。

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