音のドップラー効果 公式の導出～音を出すものが固定されているとき（踏み切り）～

前回は、救急車やパトカーのサイレンのように、音を出しているものが迫ってくるときのドップラー効果について説明をしました。
今回は、音を出す物が固定されて動かずに、自分がその音を出す物に近づいていくときに起きるドップラー効果についてです。わかりやすい例に踏切があります。


電車に乗っているときに踏切に差し掛かると、踏切の音が変化する現象を体感したことがあるかたも多いかと思います。これもドップラー効果の１つです。
下図を見てください。

Ａの位置に踏切があり、∨の速さで音を出しています。（※∨は大文字）。
この踏切に向かって電車Ｂがｖの速さで走っているわけですが（ｖは小文字）、このときＢに乗っている人たちの耳には、音は『∨＋ｖ』の速さで伝わってくることになります。


前回と同じように、波長を「λ」、Ａが出す振動数を「ｆ」、Ｂで聞こえる音の振動数を「ｆ´」とすると、波の関係式より次のことが言えます。

Ａでの音の速さは「∨＝ｆλ」、Ｂでの音の速さは「∨＋ｖ＝ｆ´λ」となるのでこれらの式から
『ｆ´＝（∨＋ｖ）÷∨×ｆ』が求まります。
ちなみにＡが出す音の振動数よりも音の振動数の方が大きいですので、ＢがＡに近づくにつれ、音は高く聞こえてくるはずです。

逆にＢがＡから遠ざかるときに音速は、『∨－ｖ』となりますので
『ｆ´＝（∨－ｖ）÷∨×ｆ』となります。