数列の和から一般項を求める問題

著者名： OKボーイ

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とある数列において、最初の項からｎ番目の項までの和Snと、ｎ番目の項 $a _{n}$ に
$3S _{n} =2a _{n} -3n+5$ 　…①　
の関係があるとき次の問に答えなさい

問１：
最初の項　 $a _{1}$ 　を求めなさい

考え方

$S _{1} =a _{1}$
これはすべての数列に言えることですが、必ず

$S _{1} =a _{1}$ 　

となります。

ｎ＝１としたとき①式は
$3S _{1} =2a _{1} -3+5$

ここで、 $S _{1} =a _{1}$ 　なので
$3S _{1} =3a _{1} =2a _{1} -3+5$
これを解いて、　 $a _{1} =2$
が答えです。

問２：
$a _{n}$ 　と　 $a _{n+1}$ 　の２項間の関係式を求めなさい

考え方

$S _{n+1} -S _{n} =a _{n+1}$ 　であることをうまく使いましょう。

$3S _{n} =2a _{n} -3n+5$ 　より
$3S _{n+1} =2a _{n+1} -3\left(n+1 \right)+5=2a _{n+1}-3n+2$ 　…②

②－①より
$3S _{n+1} -3S _{n} =2a _{n+1} -2a _{n} -3n+3n+2-5=2a _{n+1} -2a _{n} -3$

$S _{n+1} -S _{n} =a _{n+1}$ より
$3S _{n+1} -3S _{n} =3a _{n+1}$ なので

$3a _{n+1} =2a _{n+1} -2a _{n} -3$
$a _{n+1} =-2a _{n} -3$

これが求めるべき関係式ですね。

一般項, 数列の和, 漸化式,

『チャート式　数学ⅡＢ』　数研出版

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