関数の積の導関数の公式の証明

著者名： OKボーイ

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積の導関数の公式

２つの関数、ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が微分可能であるとき、次の公式が成立しました。

｛ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）｝’＝ｆ’（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｇ’（ｘ）

積の導関数の公式です。今回はこれを証明してみましょう。

証明

左辺
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) g \left(x+h\right) -f \left(x\right) g \left(x\right) }{h}$ $= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) g \left(x+h\right)- f \left(x\right) g \left(x+h\right) +f \left(x\right) g \left(x+h\right) -f \left(x\right) g \left(x\right) }{h}$

※分子に、ｆ（ｘ）ｇ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）ｇ（ｘ＋ｈ）を便宜的に加えています。そうすると

$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[f \left(x+h\right) -f \left(x\right)]g \left(x+h\right) +[g \left(x+h\right) -g \left(x\right)]f \left(x\right) }{h}$
$= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[f \left(x+h\right) -f \left(x\right)] g \left(x+h\right) }{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[g \left(x+h\right) -g \left(x\right) ]f \left(x\right) }{h}$ 　…①

ここで、設問からｆ（ｘ）とｇ（ｘ）が微分可能であることを思い出してください。つまり
$\acute{f} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f \left(x+h\right) -f \left(x\right) }{h}$ 　…②
$\acute{g} \left(x\right) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g \left(x+h\right) -g \left(x\right) }{h}$ 　…③

②と③を①に代入します。
すると｛ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）｝’＝ｆ’（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｇ’（ｘ）が求まりましたね。

・関数の商の導関数の公式の証明

証明, 公式, 積の導関数,

『教科書　数学Ⅲ』　数研出版

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