相加平均と相乗平均の不等式 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	相加平均と相乗平均の不等式
著作名： OKボーイ 14,460 views

相加平均と相乗平均

２つの数ａとｂにおいて、 $\frac{a+b}{2}$ 　を相加平均といいます。
いわゆる普通の平均値を求めるときの計算方法ですね。
一方でａ＞０、ｂ＞０のとき $\sqrt{ab}$ 　のことを相乗平均といいます。

相加平均と相乗平均の不等式

この相加平均と相加平均の間には次のような定理があります。

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ (ただし等号が成り立つのはａ＝ｂ)

これを証明してみましょう。
左辺－右辺が０よりも大きくなればこの不等式が成り立つことがわかりますので、左辺－右辺を計算してみましょう。

左辺－右辺
$= \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$
$= \frac{1}{2} \left(a-b-2 \sqrt{ab} \right)$
$= \frac{1}{2} \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^{2}$

$\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^{2}$ 　は必ず正の数ですので
$= \frac{1}{2} \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^{2} >0$ 　…①

よって　 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ 　は成り立ちます。
等号が成り立つのは①の式から　 $\sqrt{a} = \sqrt{b}$ 　…②のときです。
ａ＞０、ｂ＞０より②の両辺は２乗してもその大きさは変わりませんので
ａ＝ｂのときに等号が成り立ちます。

以上のことから、相加平均と相乗平均の関係
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ 　は証明されたことになります。

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