ニュートン力学における位置と速度と加速度 / 物理 by スレイマン |マナペディア|

更新日時：2016-06-24
	ニュートン力学における位置と速度と加速度
著作名：スレイマン 4,957 views

ニュートン力学の前提

位置と速度と加速度

ニュートン力学では空間の点を位置ベクトルで表します
ニュートン力学では位置ベクトルの基準点は止まっているか、等速直線運動をしていれば、どこでもよいのです
ニュートン力学では位置ベクトルを成分表示する場合も座標の原点が基準点であればどのような向きの座標でもかまわないのです
そして、ある物体の位置は、その物体の重心の位置の点の
位置ベクトルで表されます
時刻ｔは実数で表します
ニュートン力学では何時をt=0としてもよいのです
位置は時刻とともに変化し
時刻に対して位置ベクトルがただ一つにに定まります
同時に２つ同じものが違う場所に存在する
影分身のようなことは起こらないから、ただ一つなのです
したがって変数がｔの関数xを用いてこの位置ベクトルを
$\vec{x(t)}$
と表せます
時刻を表す実数ｔを代入するとその時刻の物体の位置を表す位置ベクトルを返す関数です
全ての物体が、この関数をもっています
速度vとはベクトルであり
$\vec{ v\left(t\right) } = \frac{d \vec{x \left(t\right) } }{dt}$
と定義されます
速度も変数がｔの関数です
位置ベクトルを時間で微分すると速度になるという定義です
ではベクトルの微分とはなんでしょうか
微分の定義にしたがうと
$\frac{d \vec{x \left(t\right) } }{dt} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \vec{x \left(t+h\right) } - \vec{x \left(t\right) } }{h}$
ベクトルの引き算は各成分の引き算をすればよいのでした
位置ベクトルを成分表示しましょう
tが定まれば位置が定まるので
$\vec{x \left(t\right) } = \left(X \left(t\right) ,Y \left(t\right) ,Z \left(t\right) \right)$
となるような関数Ｘ、Ｙ、Ｚが存在します
それぞれが三次元の座標のｘ軸ｙ軸ｚ軸を表しているので $X \left(t\right)$ と $Y \left(t\right)$ と $Z \left(t\right)$ は実数の関数です
これを用いて
$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \vec{x \left(t+h\right) } - \vec{x \left(t\right) } }{h}$
$=\lim_{h \rightarrow o} \frac{1}{h} \left(X \left(t+h\right) -X \left(t\right) ,Y \left(t+h\right) -Y \left(t\right) ,Z \left(t+h\right) -Z \left(t\right) \right)$ $= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{X \left(t+h\right) -X \left(t\right) }{h} , \frac{Y \left(t+h\right) -Y \left(t\right) }{h} , \frac{Z \left(t+h\right) -Z \left(t\right) }{h} \right)$
$= \left( \frac{dX \left(t\right) }{dt} , \frac{dY \left(t\right) }{dt} , \frac{dZ \left(t\right) }{dt} \right)$ (微分の定義より)
というように各成分を微分してしまえばよいのです
$X \left(t\right)$ と $Y \left(t\right)$ と $Z \left(t\right)$
はおなじみの実数の関数なので微分の意味がわかりました
加速度aもベクトルであり
$\vec{ a\left(t\right) } = \frac{d \vec{v \left(t\right) } }{dt}$
で定義されます
速度をさらに微分します
すなわち加速度は位置を2回微分したものになります

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