ここでは、２乗の項が含まれた不等式の証明についてみていきます。




式に２乗の項が入っていても、不等式を証明するためにやることは同じです。
不等式"A＞B"を証明するためには、





この３つのいずれかを行います。
証明の方法がわかったところで、先ほどの問題に取り組んでみましょう。

ここでは、"左辺−右辺≧０"となるかを確認してみます。

左辺−右辺＝x²＋y²−２xy＝(xーy)²

xとyは実数なので、(x−y)もつねに実数です。そして実数の２乗はつねに０以上なので、

(xーy)²≧０

が成り立つことがわかります。
以上から"左辺−右辺≧０"なので、与えられた不等式"x²＋y²≧２xy"が成り立つことがわかりました。

次に、この不等式の等号が成り立つときを調べるためには、"(xーy)²≧０"に着目をします。

(xーy)²＝０

のとき等号が成り立つので、これを満たすxとyの関係を考えます。
そう、"x＝y"のときに等号が成り立ちます。




先ほどは"左辺−右辺"をすると、"左辺−右辺"がうまく因数分解できる問題でした。今度は因数分解がうまくいかない場合をみてみましょう。

"右辺−左辺≧０"となるかで不等式の証明を行います。

右辺−左辺＝x²＋y²−xy

うまく因数分解できませんね。。。こういうときは無理矢理・・・





無理矢理２乗の形を作ってしまいます。
このとき、"(x−y/２)²≧０、３/４ y²≧０"なので

"(x−y/２)²＋３/４ y²≧０"

となります。以上から"左辺−右辺≧０"なので、与えられた不等式"x²＋y²≧xy"が成り立つことがわかりました。

次に、この不等式の等号が成り立つときを調べるためには、"(x−y/２)²＋３/４ y²≧０"に着目をします。

(x−y/２)²＋３/４ y²＝０

のとき等号が成り立つので、これを満たすxとyの関係を考えます。

・(x−y/２)²＝０
・３/４ y²＝０


この方程式を解くと、"x＝y＝０"のときに等号が成り立ちます。