「"a＋b＋c＝x＋y＋z"を証明せよ」というのが等式の証明でしたが、今度は「"a＋b＋c＞x＋y＋z"を証明せよ」という不等式の証明についてみていきます。


不等式の証明を行う前に、数学Ⅰで学習した高校数学Ⅰで使う不等式の基本性質について復習しておきましょう。



この基本性質から、次のことがいえます。



※これらは覚える必要はありませんが、いざというときに導けるようにしておきましょう。例えば「a>0、b>0→a+b>0、ab>0」は、"a＝１、b＝２"と仮定すると簡単に導く事ができると思います。




等式の証明のときは、等号が成り立つかを証明しましたが、不等式の証明では、不等号が成り立つかを証明します。

この問題の場合、"左辺−右辺＞０"が成り立つかを確認してみましょう。


左辺−右辺より
　mn＋１−(m＋n)
＝mn＋１−m−n
＝mn−m−n＋１
＝m(n−１)−(n−１)
＝(m−１)(n−１)

条件より"m＞１、n＞１"なのでこれを変形すると、"m−１＞０、n−１＞０"となります。このことから

(m−１)(n−１)＞０

となるのは明らかです。
(※正の数×正の数は必ず０より大きくなりますからね)

以上より、左辺−右辺＞０となるので不等式が成り立つことが証明されました。





これも、「左辺−右辺＞０」となるかで確認してみましょう。

左辺−右辺より
　ab＋cd−(ac＋bd)
＝ab＋cd−ac−bd
＝a(b−c)−d(b−c)
＝(a−d)(b−c)

条件の"a＞d、b＞c"を変形すると、"a−d＞０、b−c＞０"となります。このことから、

(a−d)(b−c)＞

となるのは明らかです。
以上より、左辺−右辺＞０となるので不等式が成り立つことが証明されました。