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三角比の公式　sin(90°-A)＝cosAの証明（cos,tan含む）

著者名：となりがトトロ

三角比の公式　sin(90°-A)＝cosAの証明

$\cos (90 ^{ \circ } -A) = \sin A$
$\sin (90 ^{ \circ } -A) = \cos A$
$\tan (90 ^{ \circ } -A) = \frac{1}{ \tan A}$

という公式の証明をしていきましょう。

証明

図のような∠Ｃ＝９０°の直角三角形において、次のことがいえる。

$\sin B= \frac{b}{c} , \cos A= \frac{b}{c}$
$\cos B= \frac{a}{c} , \sin A= \frac{a}{c}$
$\tan B= \frac{b}{a} , \tan A= \frac{a}{b}$

ここで、∠Ｂ＝９０°－Ａなので（∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°、∠Ｃ＝９０°から求める）、これをそれぞれに代入すると

$\sin \left(90 ^{ \circ } -A\right) = \frac{b}{c} = \cos A$
$\cos \left(90 ^{ \circ } -A\right) = \frac{a}{c} = \sin A$
$\tan \left(90 ^{ \circ } -A\right) = \frac{b}{a} = \frac{1}{ \tan A}$

が成り立つことがわかる。

証明おわり。

・鋭角のときの、三角比の公式の証明

・三角比の公式　sin²A+cos²A=1の証明

・三角比の表を見て三角形の角度を求める問題

・９０°−Aの三角比の公式と計算問題

・数学Ⅰの三角比(サイン・コサイン・タンジェント)で使う公式の一覧

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『教科書　数学Ⅰ』　東京書籍

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