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高校物理ボルツマン定数と分子の平均速度の導出

著者名：藤山不二雄

ボルツマン定数

気体の圧力を求める公式は
$pV= \frac{1}{3} Nm \overline{v ^{2} }$
でしたね。この式を変形すると
$pV= \frac{2}{3} N \times \frac{1}{2} m \overline{v ^{2} }$ 　・・・①となります。

１molあたりのアボガドロ定数を $N _{A}$ 　としたとき、ｎ(mol)の気体のぶん指数Nは
$N=nN _{A}$ 　となります。
また、気体の状態方程式より $pV=nRT$ 　ですので、①式は
$\frac{1}{2} n \overline{v ^{2} } = \frac{3R}{2N _{A} } T= \frac{3}{2} kT$ 　・・・②
と変形できます。
気体定数Rをアボガドロ定数で割った値をｋで表し、このｋのことをボルツマン定数と言います。

$k= \frac{R}{N _{A} } =1.38 \times 10 ^{-23} j/k$

分子の平均速度

②式を少し変形させます。
$\frac{1}{2} m \overline{v ^{2} } = \frac{3R}{2N _{A} } T$
$m \overline{v ^{2} } = \frac{3R}{N _{A} } T$
$\overline{v ^{2} } = \frac{3R}{mN _{A} } T$
$\sqrt{ \overline{v ^{2} } } = \sqrt{ \frac{3R}{N _{A} } T}$

気体のぶん資料をMとすると、気体分子１molあたりの質量は
$M=mN _{A} \times 10 ^{-3} kg/mol$
※単位に注意です。ｇではなくｋｇですので。

よって③は
$\sqrt{ \overline{v ^{2} } } = \sqrt{ \frac{3R}{M \times 10 ^{-3} } T}$
となります。これは分子の平均的な速さを示す指標になります。

・高校物理気体の圧力の公式の求め方　後半

・高校物理気体の圧力の公式の求め方　前半

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