人に「～してもいいですよ」と許可を与えるのが、助動詞 mayです。
You may smoke in this room.
この部屋でタバコを吸ってもいいですよ。

May I come in？　
入ってもよろしいでしょうか？

このように、肯定文であれば一般動詞の前に、疑問文であれば一番最初にmayを持ってきて使います。

そういえば、許可と言えば「can」も同じ許可を与える助動詞でしたよね。
一体何が違うのでしょうか。

ずばり、固さが違います。mayの方がcanよりも固い表現です。
canは日常の様々な会話で使われていますが、mayは、先生と生徒や親子のように 上下関係がはっきりした状況で使われるのが一般的です。

先ほどの例でもでてきましたが、もしあなたが　May I come in?　と聞かれたとしたら、どのように答えますか？

文法的にはYes,you may./No, you may not.で正解です。
しかし今学んだように、mayは上下関係がはっきりした状況で使われるのが一般的で、Yes,you may./No, you may not.は、はっきり言ってものすごい上から目線の答え方です。

ですので、相手が上下関係にないような場合、もしくは上から目線が失礼にあたるような場合には
Of course.やsure.(どちらも、いいですよの意)で答えるように気をつけましょう。

mayにはもう１つ、 確信のない推量の意味があります。
「 ～かもしれない」というやつですね。

She may not come today.　彼女は今日は来ないかもしれない。

場合に応じて使い分けれるようにしておきましょう。