"shall"は「～しましょうか？」や「～しませんか？」など相手の考えを尋ねるときに使う助動詞でした。ここで紹介する"should"は、"shall"の過去形になります。過去形の文で用いられるのはもちろんのこと、現在時制の文で用いることで、「～すべきだ」や「～のはずだ」という意味の文を作ることができます。

１：You should get up early tomorrow.
※あなたは明日、早く起きるべきだ。

２：He shold be there in Hawaii by now.
※彼は今頃、ハワイにいるはずです。

"should"は例文１のように、「～すべきだ」という義務のニュアンスを持ちます。ちなみにnotをつけて"should not"とすることで、「～すべきでない」となります。

"should"と似た意味をもつもので"ought to"というものがあります。「ought to＋動詞の原形」の形で使います。意味は同じで「～すべきだ」となります。ちなみに否定形にするときには、"ought not to"とするので気をつけてください。

一方で例文２のように、「～なはず」と訳すこともできます。ちょっと考えて見ましょう。「～なはずだ」と訳す助動詞は他にもありましたね。それは"must"でしたね。
"should"は"must"に比べて弱めな印象です。

ここでももちろん、"ought to"を変わりに使うこともできます。