定積分の公式の証明(８) / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

	定積分の公式の証明(８)
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定積分の公式の証明

ここでは、定積分の公式の１つである

$\int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx$

の証明を行います。

証明

f(x)を積分した式の１つをF(x)とします。
左辺からみていきましょう。

$\int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$
を分解して考えます。

$\int_{a}^{c} f(x)dx= \left[F(x)\right]_{a}^{c} =F(c)-F(a)$

$\int_{c}^{b} f(x)dx= \left[F(x)\right]_{c}^{b} =F(b)-F(c)$

つまり、

$\int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)=F(b)-F(a)$

一方で右辺は、

$\int_{a}^{b} f(x)dx =\left[F(x)\right]_{a}^{b} =F(b)-F(a)$

以上から、左辺＝右辺が成り立つことがわかります。

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