定積分の公式の証明(２) / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-10-16
	定積分の公式の証明(２)
著作名：ふぇるまー 14,838 views

定積分の公式の証明

ここでは、定積分の公式の１つである

$\int_{a}^{b} \left{ f(x) + g(x)}dx \right} = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$

の証明を行います。

証明

f(x)を積分した式の１つをF(x)、g(x)を積分した式の１つをG(x)とします。このときf(x)とF(x)、g(x)とG(x)の関係は、

F'(x)＝f(x)
G'(x)＝g(x)

です。このとき、"{F(x)＋G(x)}"を微分すると、

"{F(x)＋G(x)}'＝F'(x)＋G'(x)"

となることは、導関数の公式で学習した通りです。これをさらに計算すると、

"{F(x)＋G(x)}'＝F'(x)＋G'(x)＝f(x)＋g(x)"

"{f(x)＋g(x)}"をaからbの範囲で積分したと考えると

$\int_{a}^{b} \left{f(x)+g(x)\right} dx$
$= \left[F(x)+G(x)\right]_{a}^{b}$
$= F(b) +G(b) - F(a) -G(a)$ 　ー①

一方で、f(x)をaからbの範囲で積分すると、
$\int_{a}^{b} f(x)dx= \left[F(x)\right]_{a}^{b} =F(b) - F(a)$ 　ー②

また、g(x)をaからbの範囲で積分すると、
$\int_{a}^{b} g(x)dx= \left[G(x)\right]_{a}^{b} =G(b) - G(a)$ 　ー③

②＋③より

$\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} f(x)dx =F(b) + G(b) - F(a) - G(a)$ 　ー④

①と④より

$\int_{a}^{b} \left{f(x)+g(x)\right} dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} f(x)dx$

が成り立つことがわかります。

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