三角比を学ぼう[座標を用いて三角比の拡張をする問題] / 数学I by ふぇるまー |マナペディア|

三角比の拡張

これまでは三角形を用いて三角比を考えてきましたが、ここでは座標を用いて三角比を考えてみましょう。数学Ⅰの範囲では、座標を用いることで"０°〜１８０°"の三角比を考えるようになります。

まずは下図をみて次のことを覚えましょう。

$\sin \theta = \frac{y}{r}$
$\cos \theta = \frac{x}{r}$
$\cos \theta = \frac{y}{x}$

※ただしθ＝９０°のときはx＝０なのでtanθの値はなし

問題

ではこれを使ってどのように問題を解くのかをみていきましょう。
次のような図があったとします。

半径が√2の円において、θ＝１３５°とする。
このときのsinθ、cosθ、tanθの値を求めなさい。

△OPAにおいて∠POA=45°、∠PAOは直角なので、∠APO=45°であることがわかります。ということは、△OPAは、

PA：OA：PO＝１：１：√２

の三角形ですね。
"OP＝半径＝√２"なので、このことからPの座標は(−１、１)となります。

先ほどの公式より

$\sin 135 ^{ \circ } = \frac{1}{ \sqrt{2} }$
$\cos 135 ^{ \circ } =- \frac{1}{ \sqrt{2} }$
$\tan 135 ^{ \circ } =-1$

となります。

解法への鍵は、点Pの座標を求められるかどうかです。

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