θが０°≦θ≦９０°のとき、次の公式が成り立ちます。



これらの公式を証明していきましょう。

まず、次の図を用意します。



この図がどこから出てくるのかといわれると困るのですが、そういうものだと思って記憶してください。


△OACと△OBDは合同な三角形で、"∠AOC＝∠BOD＝θ"とします。
このとき、"∠BOC＝９０°＋θ"と表すことができますが、説明をしやすくするために、"９０°＋θ＝θ'"とします。

また、△OACと△OBDが合同であることから、点Aの座標をA(x,y)とすると、点Bの座標はB(−y,x)となることも頭にいれておきましょう。



∠BOC(θ')に着目したときに
sinθ'＝x

また、∠AOC(θ)に着目したときに
cosθ＝x

このことから、
sinθ'＝cosθ

"９０°＋θ＝θ'"なので
sin(９０°＋θ)＝cosθ

が求まります。



∠BOC(θ')に着目したときに
cosθ'＝−y

また、∠AOC(θ)に着目したときに
sinθ＝y

このことから、
cosθ'＝−sinθ

"９０°＋θ＝θ'"なので
cos(９０°＋θ)＝−sinθ

が求まります。



∠BOC(θ')に着目したときに


また、∠AOC(θ)に着目したときに


このことから



以上のことから、９０°＋θの三角比の３つの公式が証明できました。