ここでは、背理法を使った発展問題「"m+n√5"="-2+3√5"をみたす有理数m,nを求めよ」を通して、背理法への理解を深めていきましょう。このテキストに進むまえに、「背理法を用いた命題の証明["m+n√5=0"ならば"m=n=0"を証明する問題]」をしっかりと理解しておくことをお勧めします。



このたぐいの問題は、解法のパターンが決まっているので、解法をきちんと身につけるようにしましょう。

まず最初に、この問題を解くためには、次の性質を理解している必要があります。

有理数pとqについて、
p+q√5＝０ならばp＝q＝０
(解説と証明はこちら)




つまり右辺を左辺に移行して、左辺＝０の形を作るということです。
"m+n√5"="-2+3√5"の右辺を左辺に移行して、共通項でくくります。

(m＋２)＋(n−３)√5＝０

mとnが有理数なので、(m＋２)と(n−３)もまた有理数となります。
だからここで、"有理数pとqについて、p+q√5＝０ならばp＝q＝０"という性質が使えるのです。この性質と照らし合わせて

"(m＋２)＋(n−３)√5＝０"ならば、"(m＋２)＝(n−３)＝０"

となることがわかります。
あとはこの式を解いてm＝−２、n＝３が求まります。