このテキストでは、この定理を証明します。


△ＡＢＣにおいて、下図のように、∠ＡＢＣと∠ＡＣＢの交点をＯとする。Ｏから辺ＢＣ、辺ＣＡ、辺ＡＢにそれぞれ垂直に線をひき、その交点をＤ、Ｅ、Ｆとする。


まず、△ＦＢＯと△ＤＢＯについて考える。

線分ＢＯは∠ＦＢＤの二等分線なので、
∠ＦＢＯ＝∠ＤＢＯ　－①

また、∠ＯＦＢ＝∠ＯＤＢ＝９０°　－②

△ＦＢＯにおいて
∠ＢＯＦ＝１８０°－（∠ＦＢＯ＋９０°）　－③

△ＤＢＯにおいて
∠ＢＯＤ＝１８０°－（∠ＤＢＯ＋９０°）　－④

①、②、③、④から
∠ＦＯＢ＝∠ＤＯＢ
であることがわかった。

つまり、△ＦＢＯと△ＤＢＯは、１つの辺（辺ＢＯ）とその両端の角の大きさが等しいことから合同であると言える。
（※三角形の合同条件）

このことから、
OF=OD　－⑤
となることがわかる。

△ＣＥＯと△ＣＤＯにおいても同様にして
OE=OD　－⑥

であることがわかる。⑤と⑥から
OF=OE

であることもわかる。
つまり、△ＡＦＯと△ＡＥＯにおいて、斜辺の長さ（ＡＯ）とその他の１辺の長さが等しい（ＯＦ＝OE）ことから、△ＡＦＯと△ＡＥＯは合同であると言える。
（※直角三角形の合同条件）

つまり∠ＦＡＯ＝∠ＥＡＯなので、ＡＯは∠ＦＡＥも二等分することがわかる。
以上のことから、「三角形の３つの内角それぞれの二等分線は、1点で交わる」ことが証明できた。

証明おわり。