最大最小値を使って円錐の体積を求める / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

円錐の体積を求める

いったい何の役に立つのかわからない微分の最大最小値ですが、次のような問題に応用ができます。

底面の半径と高さの和が３０ｃｍの円錐の体積が最大となるときの底面の半径と高さと体積を求めよ

■図を描いてみる

円錐の体積を求める問題ですので、まずは円錐を描いてみましょう。

底辺の半径をｘとすると、設問より高さは３０－ｘとなります。そして体積をＶとすると
$V=\pi x^{2}(30-x) \times \frac{1}{3} =-\frac{1}{3}\pi x^{3}+10\pi x^{2}$ 　…①

■ｘの範囲を考える

次にｘの範囲について考えます。ｘはプラスですので当然ｘ＞０となります。
そして底辺と高さを足した長さが３０ｃｍですので、３０ｃｍよりも短くなります。
よってｘの範囲は、０＜ｘ＜３０　となりますね。

■微分を活用

①において、Ｖをｘについて微分します。
$\acute{V}=-\pi x^{2}+20\pi x$
となりますので、これをもとに増減表を描きます。

■増減表をかく

よってＶは、ｘ＝２０、つまり底辺の半径が２０ｃｍ、高さが１０ｃｍのときに最大となります。その値は、
$V= 20 \times 20 \times \pi \times 10 \times \frac{1}{3}$
$V= \frac{4000 \pi }{3}$
です。

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