このテキストでは、この定理を証明します。




△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢの中点をＰ、辺ＡＣの中点をＱとし、ＢＱとＣＰの交点をＧとする。

ＰとＱは、それぞれ辺ＡＢと辺ＡＣの中点であるから、中点連結定理により、

PQ//BC
BC=2PQ

が成り立つ。よって
BG：GQ=CG：GP=2：1　－①

以上のことから、辺ＡＢと辺ＡＣの中線の交点Ｇは、それぞれの中線を２：１に内分することがわかった。次は、辺ＡＣと辺ＢＣの中線の交点がどうかを確認してく。



続いて次の図のように、辺ＡＣと辺ＢＣの中点をそれぞれＱ、Ｒとし、ＢＱとＡＲの交点をＨとする。

先ほどと同じようにＱとＲは、それぞれ辺ＡＣと辺ＢＣの中点であるから、中点連結定理により

QR//AB
AB=2QR

が成り立つ。よって
BH：HQ=AH：HR=2:1　－②

以上のことから、辺ＡＣと辺ＢＣの中線の交点Ｈは、それぞれの中線を２：１に内分することがわかった。



①と②から、ＧとＨは同じ点であることがわかる。（どちらもＢＱを２：１に内分するので）
これらのことから、三角形の３本の中線は１つの点で交わり、その点はそれぞれの中線を２：１に内分することがわかる。

証明おわり。