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ｘの範囲が変わるとき、２次関数の最大値と最小値を考える |
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著作名：
はっちゃん
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f(x)=x²-2x+4の最大値と最小値を、０≦ｘ≦ａの範囲で求めよ
ｘの範囲が定まっていないときに、２次関数の最大値と最小値を求める問題にチャレンジしていく。数学Ⅰの分野の最大値・最小値を求める問題では一番やっかいなパターンではあるが、ここさえクリアできればこの手の問題で苦労することはなくなるので、しっかりと理解をしておきたいところだ。
グラフを描く
まずはf(x)=x²-2x+4のグラフを描く。最大値と最小値を求める一番の近道はグラフを描くことだと覚えておこう。f(x)=(x-1)²+3より、次のような放物線を描く。
※ｘ＝０のときとｘ＝２のときに、ともにｙ＝４となることに注目。
ａの位置をイメージする
さて、ここからが本題である。ａの位置によって最大値と最小値が異なってくることがイメージできるだろうか。
ａの位置によってこの４パターンが考えられる。これらのイメージがもてるかどうかが、この問題を解くための鍵である。すぐにイメージできるようになるわけではないので焦る必要はない。いろんなタイプの問題をこなして初めて身につくものなので、じっくりとやっていきたい。
■①０≦ａ＜１のとき、グラフより
最大値４（ｘ＝０）
最小値ａ²－２ａ＋４（ｘ＝ａ）
■②１≦ａ＜２のとき、グラフより
最大値４（ｘ＝０）
最小値３（ｘ＝１）
■③ａ＝２のとき、グラフより
最大値４（ｘ＝０，ｘ＝２）
最小値３（ｘ＝１）
■④２＜ａのとき、グラフより
最大値ａ²－２ａ＋４（ｘ＝ａ）
最小値３（ｘ＝１）
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