２次関数の最大値と最小値「軸を場合分けして考える問題」 / 数学I by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2014-01-22
	２次関数の最大値と最小値「軸を場合分けして考える問題」
著作名： OKボーイ 74,506 views

問題

次のような２次関数の最大最小値を求めよという問題があったら、みなさんはどのように解きますか？

$y=x ^{2} -4ax+a ^{2}$ 　…①　(－３≦ｘ≦３　ただし　ａ≠０)

解き方

とりあえず、①のグラフを描いてみましょう。
$x ^{2} -4ax+a ^{2} = \left(x-2a\right) ^{2} -3a ^{2}$
ですので、①は(２ａ、－３ａ)を頂点とする下に凸のグラフになります。
①の関数は、次の４パターンにわけて考えなければなりません。
次のグラフをみながら考えてみてください。

■１：軸２ａが－３よりも左側のとき

軸２ａが－３よりも左側のとき、つまり２ａ＜－３
$a<- \frac{3}{2}$
のときです。

このとき、①の関数は、グラフ１のような位置になります。
最大値はｘ＝３のとき、 $y=a ^{2} -12a+9$
最小値はｘ＝－３のとき、 $y=a ^{2} +12a+9$
となります。

■２、３：軸２ａが－３≦ｘ≦３の間にあるとき

続いて軸２ａが－３≦ｘ≦３、設問より $a \neq 0$ なので
－３≦２ａ＜０、０＜２ａ≦３　すなわち
$- \frac{3}{2} \leq a<0$ 、 $0<a \leq \frac{3}{2}$ 　のときです。
この２つのパターンで、最大の値が変わってきます。

$- \frac{3}{2} \leq a<0$ 　のとき、
グラフ２よりｘ＝－３のときに最大値　 $y=a ^{2} +12a+9$
ｘ＝２ａのときに、最小値 $-3a ^{2}$

$0<a \leq \frac{3}{2}$ のとき
グラフ３よりｘ＝３のときに最大値　 $y=a ^{2} -12a+9$
ｘ＝２ａのときに、最小値 $-3a ^{2}$

となります。

■４：軸２ａが３よりも右側のとき

軸２ａが３よりも右側のとき、つまり２ａ≦３　すなわち
$a \leq \frac{3}{2}$ 　のときです。

このときは、グラフ４より
ｘ＝－３のときに最大値　 $y=a ^{2} -12a+9$
ｘ＝３のときに最小値　 $-3a ^{2}$

となります。

頂点の位置が移動することによって、最大最小値が変わってくるというところがポイントですね。

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