とある２次関数において最大値と最小値の値がわかり、かつｘの範囲（定義域）が与えられた状態で、この２次関数の式を求める問題にチャレンジしてみよう。



まずf(x)=ax²+2ax+bを整理して、この２次関数の頂点の座標を求めていく。

f(x)=ax²+2ax+b
f(x)=a(x²+2x)+b
f(x)=a(x+1)²-a+b

またａはプラスかマイナスかがわからないので、求める２次関数は（－１、－ａ＋ｂ）を頂点とした下に凸なグラフ（ａ＞０のとき）か、上に凸のグラフ（ａ＜０のとき）を描くことが予想できる。ａ＞０とａ＜０の２パターンについて考えていく。ちなみにａ＝０のときｆ（ｘ）は２次関数ではなくなってしまうので計算にいれない。


ａ＞０のとき、グラフの予想図は次のようになる。－３≦ｘ≦０であることを忘れないように。



ａ＞０のとき、グラフの頂点のｙ座標の値が最小値となるので

－ａ＋ｂ＝－２　・・・①

またグラフから、ｘ＝－３のときに最大値３ａ＋ｂなので

３ａ＋ｂ＝２　・・・②

①－②よりａ＝１。これを①に代入して、ｂ＝－１が求まる。
問題は、ａとｂの値を求めよなのでこれが答えとなる。


ａ＜０のとき、グラフの予想図は次のようになる。こちらでも－３≦ｘ≦０であることを忘れないように。



ａ＜０のとき、グラフの頂点のｙ座標が最大値となるので

－ａ＋ｂ＝２　・・・③

またグラフから、ｘ＝－３のときに最小値３ａ＋ｂなので

３ａ＋ｂ＝－２　・・・④

③－④よりａ＝－１。これを③に代入してｂ＝１が求まる。