判別式を使った応用問題 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	判別式を使った応用問題
著作名： OKボーイ 13,456 views

はじめに

実際に問題を通して、円と直線の交点の関係について学びましょう。

問題

円： $x^{2}+y^{2}=1$ 　…①
直線： $y=2x+k$ 　…②

という円と直線があります。この円と直線が２ヶ所で交わる場合、１箇所で接する場合、１箇所とも交わらない場合のｋの値の範囲を求めなさい。

考え方

・①と②の式を連立させて、 $ax^{2}+bx+c=0$ 　の形をつくる。
・出来上がった方程式に判別式Ｄを適応させ、その範囲を考える

解答

まず、②を①に代入しましょう。

$x^{2}+\left(2x+k\right)^{2}=1$ 　展開させて
$5x^{2}+4kx+k^{2}-1=0$

この式に判別式Ｄを適応します。
$D=\left(4k\right)^{2}-4 \cdot5 \cdot \left(k^{2}-1 \right)=-4k^{2}+20$

■D>0のとき

Ｄ＞０のとき、円と直線の交点は２つになります。
$-4k^{2}+20>0$
$k^{2}-5<0$
$k^{2}<5$
$-\sqrt5<k< \sqrt5$
このときに、円と直線は２点で交わります。

■D=0のとき

Ｄ＝０のときに、円と直線は１点で接します。
$D=-4k^{2}+20=0$ 　これを解いて
$k=\pm \sqrt5$
このときに円と直線は１点で接します。

■D<0のとき

Ｄ＜０のとき、円と直線は１つも交わりません。
$D=-4k^{2}+20<0$ 　これをといて
$k<- \sqrt5 ,\sqrt5<k$
このときに、円と直線の交点はなしになります。

以上のように、円と直線の交点の数を調べるときにも判別式は有用です。

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