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2次関数のグラフとx軸の交点の数
著作名: OKボーイ
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2次関数のグラフとx軸の交点の数

関数y=ax²+bx+cのグラフを描いたときに、x軸と関数のグラフが交わる点がいくつあるか答えなさい。


このような問題について考えてみます。



y=ax²+bx+cのグラフを描いてx軸との交点の数を数える」というのが最も原始的なやり方です。しかしそれだと時間がかかりますし、ミスをする可能性も高くなります。

そのため手っ取り早く交点の数を調べるためには、判別式と呼ばれる式を用います。

判別式って何?

判別式とは、関数

y=ax²+bx+c

において、

b²-4ac

と表されるものです。判別式のことを略して"D"と書き、

D=b²-4ac


と表します。判別式には次の性質があります。

D>0のとき関数とx軸の交点は2つ

D=0のとき関数とx軸の交点は1つ

D<0のとき関数とx軸の交点はない


このように、判別式を計算することで交点の数を一瞬で求めることができます。
では実際にこの式が正しいか、一緒に問題を解いて確認してみましょう。



問題

関数y=x²+2x-2について、x軸との交点の数を求めなさい。


判別式を用いる

関数y=x²+2x-2について判別式を用いると、

D=2² -4 × 1 × -2=12>0

なので、理論上は交点が2つあるということになります。では実際にグラフを描いて確認してみましょう。

グラフを描いてみる

y=x²+2x-2を変形すると、

y=(x+1)²-4となります。

つまり、 (-1,-4)を頂点とする下に凸の放射線を描くということですね。この関数のグラフを描くと、次のようになります。

ALT



交点は2つですね。判別式で求めたのと同じ結果が出ました。



結論

2次関数とx軸との交点の数を求める場合には、判別式Dを用いると便利。



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