正三角形の頂点の決定 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	正三角形の頂点の決定
著作名： OKボーイ 24,400 views

３点、Ａ（１，０）、Ｂ（０，３）、Ｃ（ａ，ｂ）を頂点とする△ＡＢＣが正三角形であるとき、ａとｂの値を求めてみましょう

このように、座標と図形とがセットになった問題には解き方のコツがあります。

■図を描いてみる

どの問題もそうですが、まずは図示してみて頭の中だけではなく目でみて考えてみる。図形、座標の問題では図示をすること、これが第一です。

■図形の性質を考える

図形がでてきた場合、その性質が何であったかを考えます。
直角三角形であればピタゴラスの定理が使える、ひし形であれば対角線が直角に交わるなどです。
今回扱う図形は正三角形です。さて、どんな特徴があったでしょうか。

図を描く

さて、設問から考えられる△ＡＢＣは次の図のように２通りです。
便宜的にＣ、Ｃ’としましょう。

図形の性質を考える

さて、正三角形の特徴はどのようなものがあったでしょうか。
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ
今回はこの性質を利用します。

Ｃの座標を（ａ、ｂ）としたとき
$AC= \sqrt{ \left(1-0\right) ^{2} + \left(0-3\right) ^{2} } = \sqrt{10}$ 　
$BC= \sqrt{ \left(1-a\right) ^{2} + \left(3-b\right) ^{2} } = \sqrt{a ^{2} + \left(3-b\right) ^{2} }$ 　…①
$CA= \sqrt{ \left(a-1\right) ^{2} + \left(b-0\right) ^{2} } = \sqrt{ \left(a-1\right) ^{2} +b ^{2} }$ 　…②

ＡＢ＞０、ＢＣ＞０、ＣＡ＞０ですので
$AB^{2}=BC^{2}=CA^{2}$ となります。

①と②から、 $a^{2}+\left(3-b\right)^{2}=\left(a-1\right)^{2}+b^{2}$
これを解くと　 $a=b-4$ 　…③　となります。
③を①に代入して
$\left(b-4\right)^{2}=\left(3-b\right)^{2}$
これをとくと
$b= \frac{3 \pm \sqrt{3} }{2}$
これを③に代入して
$a= \frac{1 \pm \sqrt{3} }{2}$

よってＣの座標は
$\left( \frac{1 \pm \sqrt{3} }{2} , \frac{3 \pm \sqrt{3} }{2} \right)$ 　となります。

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