高校物理気体の圧力の公式の求め方　後半 / 物理 by 藤山不二雄 |マナペディア|

更新日時：2013-12-02
	高校物理気体の圧力の公式の求め方　後半
著作名：藤山不二雄 30,909 views

１枚の壁がN個の分子から受ける力と圧力

前回は、質量ｍの分子N個からなる理想気体において、１個の分子が壁に１度ぶつかったときに起こる力積について説明をしました。今回はその続きです。

分子が先程の壁にぶつかってから再度同じ壁にぶつかるまでには
$2L \div x _{x} = \frac{2L}{v _{x} }$ 　秒かかります。

つまりこの分子は、ｔ秒間の間に
$t \div \frac{2L}{v _{x} } = \frac{v _{x} t}{2L}$ 　回同じ壁と衝突するということです。

この壁が受ける力をｆとすると、以上のことから力積ｆｔは
$ft=2mv _{x} \times \frac{v _{x} t}{2L} = \frac{mv _{x} ^{2} t}{L}$ 　・・・①

の力を受けているということになります。
①は１個の分子から受ける力ですので、N個の分子から受ける力Fについて考えてみます。
N個の分子についての $v _{x} ^{2}$ の平均を $\overline{v _{x} ^{2} }$ とすると、 $v _{x} ^{2}$ を全分子について考えたとき、 $N \overline{v _{x} ^{2} }$ となります。
したがって、全分子が及ぼす力積の総和は
$\frac{Nm \overline{v _{x} ^{2} } t}{L}$
となります。

ところで、速度ｘとその成分 $v _{x} ,v _{y} ,v _{z}$ 　の２乗の平均を
$\overline{v} , \overline{v _{x} } , \overline{v _{y} } , \overline{v _{z} }$
とすると、三平方の定理より
$v ^{2} =v _{x} ^{2} +v _{y} ^{2} +v _{z} ^{2}$ 　
なのでその平均についても当然
$\left( \overline{v} \right) ^{2} = \left( \overline{v _{x} } \right) ^{2} + \left( \overline{v _{y} } \right) ^{2} + \left( \overline{v _{z} } \right) ^{2}$ 　・・・②
となります。

また、気体分子の運動には、向きによる差はがないと考えられているので、次のことも言えます。
$\overline{v _{x} ^{2} } = \overline{v _{y} ^{2} } = \overline{v _{z} ^{2} }$ 　・・・③
②と③より
$\overline{v ^{2} } =3 \overline{v _{x} ^{2} }$
$\overline{v _{x} ^{2} }=\frac{1}{3} \overline{v ^{2} }$

以上のことから、
$F= \frac{Nm \overline{v _{x} ^{2} } }{L} = \frac{Nm \overline{v ^{2} } }{3L}$

ゆえに１枚の壁がうける圧力Pは
$p= \frac{F}{L ^{2} } = \frac{Nm \overline{v ^{2} } }{3L ^{3} } = \frac{Nm \overline{v ^{2} } }{3V}$
と表すことができます。

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