整式P(x)を、"x−a"で割ったときの余りRは、「R＝P(a)」で求める事ができましたね。では、P(x)を"ax＋b"で割ったときの余りはどのように求めればよいでしょうか？



答えは、"P(−b/a)"となるのですが、ここではそれを証明してみましょう。




まず、整式P(x)を"ax＋b"で割ったときの商をQ(x)、余りをRとします。すると

P(x)＝Q(x) (ax＋b)＋R

と表せますね。この式において、"x＝−b/a"のとき






以上のことから、整式P(x)を"ax＋b"で割ったときの余りRは、"R＝P(−b/a)"となることがわかりますね。





P(x)＝８x³＋４x²−２x＋３とします。剰余の定理より、P(x)を"２x＋１"で割ったときの余りRは、"R＝P(−１/２)"となります。




以上より、余りは４です。


P(x)＝８x³−４x−２x＋３とします。剰余の定理より、P(x)を"２x−１"で割ったときの余りRは、"R＝P(１/２)"となります。




以上より、余りは２です。