定積分で表された関数の問題 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-10-28
	定積分で表された関数の問題
著作名：ふぇるまー 36,313 views

定積分で表された関数の問題

ここでは、次のような問題についてみていきましょう。

$\int_{a}^{x} f(t)dt=x ^{2} -2x+1$
を満たす関数f(x)と、定数aの値を求めてみましょう

難しく考えなくても、考えずに関数f(x)と定数aの値をダイレクトに求めるテクニックがあるので紹介しましょう。

f(x)を求める方法

関数f(x)を求めるためには、両辺をxで微分する。

これだけです。早速やってみましょう。

$\int_{a}^{x} f(t)dt=x ^{2} -2x+1$

まずは左辺をxで微分します。

$\int_{a}^{x} f(t)dt$

を微分すると、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt$

これは、定積分と微分法の公式により

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t)dt=f(x)$

となります。理由がわからない人は、定積分と微分法の公式の証明を詳しく読んでみてください。

一方で右辺"x²−２x＋１"を微分すると、２x−２となります。
以上のことから、

f(x)＝２x−２

が求まります。

定数aの値を求める

定数aの値を求めるためには、x＝aを与えられた式に代入する。

早速やってみましょう。
x＝aを与えられた式に代入します。

$\int_{a}^{a} f(t)dt=a ^{2} -2a+1$

このとき左辺は、定積分の公式より

$\int_{a}^{a} f(t)dt=0$

となります。このことから、

a²−２a＋１＝０
(aー１)²＝０
a＝１

が求まります。

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