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円に接する直線(接線)の方程式を求める公式 |
著作名:
ふぇるまー
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円に接する直線の方程式
円に接する直線とはどのようなものか、まずは図にかいてみます。
"x²+y²=r²"と接する接線lの方程式を求めてみましょう。円と接線は点P(x₁,y₁)で交わるとします。(点Pは座標軸上の点ではないとします。)
■<ポイント>
OPとlは垂直に交わるので、OPの傾きとlの傾きをかけると−1になることに注目する。
求め方
OPの傾きは、
なので、直線lの傾きをmとしたとき、座標上の2つの直線が垂直に交わるための条件・公式より
そして直線lは点P(x₁,y₁)を通ることから、方程式は、
これを整理していきます。両辺にy₁をかけると
y₁y−y₁²=−x₁x+x₁²
x₁x+y₁y=x₁²+y₁² ー①
ここで視点をかえましょう。
点P(x₁,y₁)は"x²+y²=r²"上の点なので
x₁²+y₁²=r²" ー②
②を①に代入すると、
"x₁x+y₁y=r²"
これが円に接する直線の方程式です。
"x²+y²=r²"と点P(x₁,y₁)で接する接線の方程式は、
"x₁x+y₁y=r²"
"x₁x+y₁y=r²"
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