円に接する直線(接線)の方程式を求める公式 / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-05-27
	円に接する直線(接線)の方程式を求める公式
著作名：ふぇるまー 66,241 views

円に接する直線の方程式

円に接する直線とはどのようなものか、まずは図にかいてみます。

"x²＋y²＝r²"と接する接線lの方程式を求めてみましょう。円と接線は点P(x₁，y₁)で交わるとします。(点Pは座標軸上の点ではないとします。)

■<ポイント>

OPとlは垂直に交わるので、OPの傾きとlの傾きをかけると−１になることに注目する。

求め方

OPの傾きは、

$\frac{y _{1} }{x _{1} }$

なので、直線lの傾きをmとしたとき、座標上の２つの直線が垂直に交わるための条件・公式より

$m \times \frac{y _{1} }{x _{1} } =-1$

$m=- \frac{x _{1} }{y _{1} }$

そして直線lは点P(x₁，y₁)を通ることから、方程式は、

$y-y _{1} =- \frac{x _{1} }{y _{1} } \left(x-x _{1} \right)$

これを整理していきます。両辺にy₁をかけると

y₁y−y₁²＝−x₁x＋x₁²

x₁x＋y₁y＝x₁²＋y₁²　ー①

ここで視点をかえましょう。
点P(x₁，y₁)は"x²＋y²＝r²"上の点なので

x₁²＋y₁²＝r²"　ー②

②を①に代入すると、

"x₁x＋y₁y＝r²"

これが円に接する直線の方程式です。

"x²＋y²＝r²"と点P(x₁，y₁)で接する接線の方程式は、
"x₁x＋y₁y＝r²"

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