円と接する直線の方程式 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	円と接する直線の方程式
著作名： OKボーイ 49,462 views

円と接する直線の方程式の求め方

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 　上の点Ｐ（ａ，ｂ）でこの円に接する直線の方程式は
$ax+by=r^{2}$ 　で表すことができます。

これを証明してみましょう。
下図のように、原点を中心とする半径ｒの円と、点Ｐ（ａ，ｂ）で円と接する直線ｌがあります。

まず、直線ＯＰについて考えます。このＯＰは原点Ｏと点Ｐ（ａ，ｂ）を通る直線ですので、その傾きは
$\frac{b}{a}$ 　となります。

ここで、この直線ＯＰとｌは垂直に交わっていますので、直線ｌの傾きが求まりますね！互いの直線の傾きの積が－１になるように、直線ｌの傾きを求めると
$-\frac{a}{b}$ 　となります。

傾きがわかり、この直線は点Ｐ（ａ，ｂ）を通ることから、この直線の方程式は
$y-b=-\frac{a}{b} \left(x-a\right)$ 　整理して
$ax+by=a^{2}+b^{2}$ 　…①となります。

次にフォーカスするのは、点Ｐが円上の点であるということです。このことから
$a^{2}+b^{2}=r^{2}$ 　…②であることがわかります。

①と②より $ax+by=r^{2}$ 　となりましたね。

たとえこの式を忘れてしまっても自分で導き出せるように、何度も解き直しておきましょう！

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