絶対値を含む不等式 / 数学II by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	絶対値を含む不等式
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絶対値を含む不等式

絶対値は、その性質から
$|a| ^{2} =a ^{2}$
$|a| |b|=|ab|$
$|ab| ^{2} = \left(|a| |b|\right) ^{2}$
$| \frac{a}{b} |= \frac{|a|}{|b|}$
であることがわかっています。これらの特徴を利用して次の問題を解いてみましょう。

$a \neq 0$ 、 $b \neq 0$ 　のとき　 $|a|+|b| \geq |a+b|$ 　となることを証明しなさい。

両辺の平方の差を考えてみます。
$\left(|a|+|b|\right) ^{2} - \left(|a+b|\right) ^{2}$
$=|a| ^{2} +2|a||b|+|b| ^{2} - \left(a+b\right) ^{2}$
$=a^{2}+2|a||b|+b^{2}-a^{2}-2ab-b^{2}$
$=2|ab|-2ab$

※ $\left(|a+b|\right) ^{2} =\left(a+b\right) ^{2}$ 　であることがポイントです。

|ａｂ|は常に正の値をとります。そして－aｂはどんな値を代入しても|ａｂ|より大きくなることはありません。
よって　 $2|ab|-2ab>0$ 　であり
$\left(|a|+|b|\right) ^{2} > \left(|a+b|\right) ^{2}$ 　であることが言えます。

そして、 $|a|+|b| \geq 0$ 、 $|a+b| \geq 0$ 　ですのでこの式は２乗をはずしてもその大小に変わりはありません。
ゆえに $|a|+|b| \geq |a+b|$ 　は成り立ちます。

絶対値の性質をきちんと把握しておくことがこの手の問題は解法への近道です。

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