０°≦θ≦１８０°のときの三角比の公式・相互関係 / 数学I by ふぇるまー |マナペディア|

更新日時：2014-02-20
	０°≦θ≦１８０°のときの三角比の公式・相互関係
著作名：ふぇるまー 46,168 views

三角比の公式

θが鋭角のとき、次の３つの公式が成り立ちました。

$\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta =1$
$\tan \theta = \frac{ \sin \theta }{ \cos \theta }$
$1+ \tan ^{2} \theta = \frac{1}{ \cos ^{2} \theta }$

θが鋭角のときと同様に、０°≦θ≦１８０°のときもこの公式は成り立ちます。
ではどのように出題されるかということで、練習問題をみていきましょう。

練習問題

sinθが次の値のとき、cosθとtanθの値をそれぞれ求めなさい。
$\sin \theta = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

早速公式を使って解いていきましょう。
$\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta =1$
の公式より

$\left( \frac{1}{ \sqrt{2} } \right) ^{2} + \cos ^{2} \theta =1$
$\cos ^{2} \theta =1- \frac{1}{2}$
$\cos ^{2} \theta = \frac{1}{2}$

さてここからが問題です。
cosθの値は「＋」でしょうか、それとも「−」でしょうか。

図のように、θが第一象限(左)にある場合cosθの値はプラスに、θが第二象限(右)にある場合、cosθの値はマイナスとなります。

θが鋭角のとき、sinθ、cosθ、tanθはつねにプラスですが、０°≦θ≦１８０°の範囲でcosθとtanθはマイナスとなる場合があることを覚えておきましょう。

■θが鋭角のとき

θが鋭角のとき、cosθ＞０なので
$\cos \theta = \frac{1}{ \sqrt{2} }$

このときtanθは
$\tan \theta = \frac{1}{ \sqrt{2} } \div \left( \frac{1}{ \sqrt{2} } \right) = \frac{1}{ \sqrt{2} } \times \sqrt{2} =1$

■θが鈍角のとき

θが鈍角のとき、cosθ＜０なので
$\cos \theta = -\frac{1}{ \sqrt{2} }$

このときtanθは
$\tan \theta = \frac{1}{ \sqrt{2} } \div \left( -\frac{1}{ \sqrt{2} } \right) = \frac{1}{ \sqrt{2} } \times \left( -\sqrt{2} \right) =1$

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