θが０°≦θ≦９０°のとき、次の公式が成り立ちます。



これらの公式を、加法定理を使って証明していきましょう。加法定理は数学Ⅱで学習する範囲なので、数学Ⅰしか学習していない人は、こういう解き方もあるのかと思うぐらいで大丈夫です。

図を用いた証明はこちらから。
９０°＋θの三角比[公式の証明]



正弦の加法定理
"sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ"より

sin(90°＋θ)＝sin90°cosθ＋cos90°sinθ

"sin90°＝１"，"cos90°＝０"より
sin(90°＋θ)＝sin90°cosθ＋cos90°sinθ＝cosθ

よって"sin(９０°＋θ)＝cosθ"が成り立つことが証明されました。



余弦の加法定理
"cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαsinβ"より

cos(90°＋θ)＝cos90°cosθ−sin90°sinθ

"sin90°＝１"，"cos90°＝０"より
cos(90°＋θ)＝cos90°cosθ−sin90°sinθ＝−sinθ

よって"cos(90°＋θ)＝−sinθ"が成り立つことが証明されました。


正接の加法定理


を使って

としたいところですが、tan90°という値は存在しないので、この計算式を解くことはできません。よって加法定理を使って"tan(９０°＋θ)"の公式の証明はできないことになります。