因数分解の公式[３次式の因数分解] / 数学II by ふぇるまー |マナペディア|

３次式の因数分解

数学Ⅰでは、２次式の展開や因数分解について学習をしました。数学Ⅱでは、３次式の展開や因数分解について学習をします。ここでは３次式の因数分解についてみていきましょう。

展開の公式は４つありましたが、因数分解の公式は次の２つを覚えましょう。

・a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)
・a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)

よく見ると、展開の公式
・(a＋b)(a²－ab＋b²)＝a³＋b³
・(a－b)(a²＋ab＋b²)＝a³－b³
を逆さまにしたものですね。

練習問題

因数分解の公式は「考えるより慣れろ」です。様々な問題を解いて展開に慣れていきましょう。

問題　次の式を因数分解せよ
(１) ６４ｘ³＋１２５ｙ³
(２) ｘ³－６４

■(１) ６４ｘ³＋１２５ｙ³

６４ｘ³＋１２５ｙ³＝(４ｘ)³＋(５ｙ)³

a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)の公式より

(４ｘ)³＋(５ｙ)³＝(４ｘ＋５ｙ)(１６ｘ²－２０ｘｙ＋２５ｙ²)

因数分解を始めるまえに、"(４x)³"のように係数も一緒にまとめることができないか、よく見てみる。

■(２) ｘ³－６４

"６４"が"４³"なことに気づけると、一発で答えを求めることができます。

ｘ³－６４＝ｘ³－４³

a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)の公式より、

　ｘ³－４³
＝(ｘ－４)(ｘ²＋４ｘ＋４²)
＝(ｘ－４)(ｘ²＋４ｘ＋１６)

３乗の因数分解のときには、"○³＋△³"または"○³－△³"の形を作ることが重要

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