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2次不等式の解き方[因数分解してから解く問題] |
著作名:
ふぇるまー
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因数分解してから解く2次不等式の問題
"ax²+bx+c>0"を変形して、"(x−α)(x−β)>0"とできるタイプの2次不等式の解き方についてみていきます。まずは次のことを覚えましょう。
"ax²+bx+c=0の解がα、β(α>β)のとき
"ax²+bx+c>0"の解は、x<β、α<x
"ax²+bx+c<0"の解は、β<x<α
"ax²+bx+c>0"の解は、x<β、α<x
"ax²+bx+c<0"の解は、β<x<α
では実際に問題を解いて確認してみましょう。
問題 次の2次不等式を解きなさい
(1) x²−2x−3>0
(2) x²−2x−3<0
(1) x²−2x−3>0
(2) x²−2x−3<0
■(1) x²−2x−3>0
まず"x²−2x−3=0"として、この2次方程式の解を求めます。
x²−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
x=−1、3
先ほどの決まりに従うと、「x<−1、3<x」が答えとなるのですが、これだとイメージがしにくいので、"y=x²−2x−3"のグラフをかいて確認をしてみましょう。
このグラフでy>0となるのは、xが赤矢印の範囲にある場合ですね。たしかに、「x<−1、3<x」のときにy>0と読み取ることができます。
■(2) x²−2x−3<0
同じように、"x²−2x−3=0"として、この2次方程式の解を求めます。
x²−2x−3=0
(x−3)(x+1)=0
x=−1、3
先ほどの決まりに従うと、「−1<x<3」が答えとなります。同様にして"y=x²−2x−3"のグラフをかいて確認をしてみましょう。
このグラフでy<0となるのは、xが赤矢印の範囲にある場合ですね。たしかに、「−1<x<3」のときにy<0と読み取ることができます。
理屈がわかったところで、再度以下のことを覚えましょう。
"ax²+bx+c=0の解がα、β(α>β)のとき
"ax²+bx+c>0"の解は、x<β、α<x
"ax²+bx+c<0"の解は、β<x<α
"ax²+bx+c>0"の解は、x<β、α<x
"ax²+bx+c<0"の解は、β<x<α
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