関数ｆ（ｘ）が閉区間［ａ、ｂ］において連続で、開区間（ａ、ｂ）において微分可能であるとします。このとき

これを証明してみましょう。


まず、［ａ、ｂ］において「ａ＜u＜v＜ｂ」となる任意の値「u」と「v」をとります。この［u、v］の範囲で平均値の定理を使います。
平均値の定理とは、関数ｆ（ｘ）が閉区間［ａ、ｂ］において連続で、開区間（ａ、ｂ）において微分可能であるとき

となる定数ｃが存在する、というものでしたね。つまり
　…①
（u＜ｃ＜v）
となるｃが存在することになります。

①を変形して


この証明は、（ａ、ｂ）でつねにｆ’（ｘ）＝０であるという条件の上で始まっていますので、ｆ’（ｃ）＝０　…②

②より



このことから開区間（ａ、ｂ）で常にｆ’（ｘ）＝０ならば、ｆ（ｘ）は閉区間［ａ、ｂ］で定数をとることがわかります。