積分を使って面積を求める～数Ⅲに入る前に数Ⅱのおさらい～ / 数学III by OKボーイ |マナペディア|

更新日時：2012-06-02
	積分を使って面積を求める～数Ⅲに入る前に数Ⅱのおさらい～
著作名： OKボーイ 19,687 views

斜線部分の面積を求めてみましょう

数学Ⅲでも、積分を使って面積を求める問題が出てきます。
ここでは今一度、数学Ⅱのときに学習した、「積分を使った面積の求め方」の復習をしておきましょう。

ａ≦ｘ≦ｂの範囲で、つねにｆ(ｘ)≧０であるとき、斜線部の面積Ｓは
$S= \int_{a}^{b} f \left(x\right) dx$
で求めることができます。

ちなみにａ≦ｘ≦ｂの範囲で、つねにｆ(ｘ)≦０であるとき、斜線部の面積Ｓは
$S= -\int_{a}^{b} f \left(x\right) dx$
となります。

■では次の問題を一緒に解きながら理解を深めていきましょう。

次のように、 $y=x^{2}+3$ 　（ｘの範囲が－１≦ｘ≦２）の斜線部分の面積Ｓを求めてみましょう。

$f(x)=x^{2}+3$ 　とすると、－１≦ｘ≦２の範囲において常にｆ(ｘ)＞０であることから先ほどの公式が使えます。
$S= \int_{-1}^{2} \left(x ^{2} +3\right) dx$ 　
$\int_{-1}^{2} \left(x ^{2} +3\right) dx= \left[ \frac{1}{3} x ^{3} +3x\right]_{-1}^{2}$
$= \frac{1}{3} \cdot 2 ^{3} +3 \cdot 2- \frac{1}{3} \left(-1\right) ^{3} +3 \cdot \left(-1\right)$
$= \frac{8}{3} +6+ \frac{1}{3} -3$
$=6$

Ｓ＝６　が答えとなります。

ポイント

ｆ(ｘ)≧０であれば　 $S= \int_{a}^{b} f \left(x\right) dx$

数学Ⅲの積分では

数学Ⅲでは、ここにｙ＝ｓｉｎｘのような三角関数であったり、指数関数が混ざってくるわけです。まずは数学Ⅱの積分の範囲をしっかりと確認しなおしておきましょう。

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