累乗根の公式の証明"ⁿᴾ√aᵐᴾ＝ⁿ√aᵐ"

ここでは、累乗根の公式の中から、次の公式を証明します。


a＞０、b＞０で、m、n、pが正の数のとき、以下の式を証明せよ。




まず、



とおきます。このときa＞０であることから、ｘ＞０となります。


①の両辺をｎ乗します。



ａᵐ＝ｘⁿ　－②



次に、②式の両辺をｐ乗します。

（ａᵐ）ᵖ＝（ｘⁿ）ᵖ

ここで両辺に、指数法則の

（ａᵐ）ⁿ＝ａᵐⁿ

を用います。すると

ａᵐᵖ＝ｘⁿᵖ　－③

条件より、ａᵐᵖ＞０、ｘ＞０なので





①、④より



が成り立つことがわかります。
証明おわり。