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14_80 指数関数と対数関数 / 指数と指数関数

有理数の指数[累乗根の公式の証明]

著者名: ふぇるまー
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指数の拡張

ここでは、次の2つの累乗根の公式を導いていきます。

<証明1>
a>0でmとnが正の整数のとき

の証明


<証明2>
a>0でmとnが正の整数のとき

の証明


証明1

指数法則の1つである



に、m=2/3、n=3を代入してみます。



これは、



の計算と同じと考えることができます。
このことから、



つまり、



を導くことができます。


証明2

指数法則の1つである



に、n=−2/3を代入すると



証明1より、



以上から、



を導くことができます。

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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