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14_80 指数関数と対数関数 / 指数と指数関数

累乗根の公式の証明"ᵐ√ⁿ√a=ᵐⁿ√a"

著者名: ふぇるまー
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累乗根の公式の証明

ここでは、累乗根の公式の中の次の公式を証明します。

a>0、b>0で、mとnが正の数のとき

の証明


まず、
 -①

とおいて、両辺をm乗します。



このとき左辺は、



となるので、

 -②

計算がややこしいですね。わからない人は



とおきかえて計算してみましょう。これにより



なので、




さらに②の両辺をn乗します。



ここで右辺に、指数法則の"(ab)ⁿ=aⁿbⁿ"を用います。すると



条件よりa>0、x>0なので

 -③

ここの計算がわからない人は、
"mn=p"として考えてみましょう。





と計算できますよね。


①、③より



が成り立つことがわかります。

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・累乗根の公式の証明"ᵐ√ⁿ√a=ᵐⁿ√a"

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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